一教你如何最优化投资组合

最优投资组合建立——有约束条件的目标函数

人们在构建一个量化组合时，需要三板斧的加持，即alpha号，风险模型和优化器。alpha号刻画股票的预期收益率，它凝聚了投研人员的聪明才智，将他们对股票的研究判断封装成因子。风险模型则代表股票的预期波动率，以及不同股票之间的相关程度。而优化器，则涉及金融学中一个重要的基本模型。

这个模型就是均值方差模型，在1952年由Markowitz提出，开启了【现代投资(000900)、股吧】领域的大门。它通过平衡组合的收益和风险，使量化投资得到了飞速发展。优化器就是依照均值方差模型的理论设计出来的，它的作用是将alpha号与风险模型作为输入，求解出最优的投资组合。

在求解组合的过程中，需要设定一个优化目标，标准的均值方差模型的优化目标是：

但如很多理论模型一样，这个函数只适用于最简单的情形，忽略了实际情况可能要考虑的问题，例如交易成本。除了上述目标函数之外，人们往往会需要设定一些约束条件来获得最优解。常见的约束条件包括个股持仓比例、股票总仓位、行业偏离度、风格偏离度等，对每一个条件，我们都可以设置一个对应的上下限。

增加了约束条件后求解出来的最优投资组合x*，和没有约束条件的情况下的最优投资组合很可能会不一样。在学术上这种现象称为Implementation inefficient，简单来说就是：alpha号在有约束的情况下，没有得到完整的表达。

萝卜投资对约束条件的刻画业界通常使用Transfer Coefficient（TC）来刻画alpha号表达的程度，如果没有约束，则TC=1。但是这种方式无法精确衡量出每个约束条件如何限制了alpha号的表达，也就是说它们无法精确衡量它们如何影响了最优投资组合x*。萝卜投资开发了一套模型专门衡量约束条件带来的影响。下面将会通过一个实例，从三个角度分别阐述。我们以2019年7月26日这一天为例，选择个股的EPS作为因子。为了方便起见，我们在沪深300投资域中，随机选择了10只股票，并且将它们中性化后形成alpha号。我们的基准同样选择这10只股票，并且根据这些股票在沪深300中实际的持仓占比进行归一化。下面是这10只股票的数据：

表1 输入数据

假设以标准的均值方差模型作为目标函数，风险厌恶系数λ设置为1，并且不添加任何约束条件。通过优化算法会得到一个结果，之后我们添加以下约束条件：“个股不能做空，且【云南白药(000538)、股吧】的仓位上限为20%；股票仓位为满仓”，得到了另外一个结果。结果如表2：

表2：无约束和带约束组合持仓占比

刻画一：约束条件对组合持仓的影响首先我们从投资组合仓位的角度来观察约束条件的影响。为了洞悉每个约束条件对最终形成的投资组合的影响，我们在表3中列出了将持仓分解后的结果。表格中逐一列举了每个约束条件对无约束组合的影响，刻画了如何从无约束组合，变化到最终带全部约束条件的组合的细致过程。无约束条件情况下，个股的持仓比例如第一行数字所示。从表格中可以出，个股不能做空的约束，增大了本希望做空的股票的仓位，例如TCL集团的0.2033和天茂集团的0.1852。而本不想做空的股票，例如潍柴动力、云南白药、泸州老窖，本身就满足它们的不能做空约束，因此这些约束没有生效，可以到它们的值均为0。而云南白药的仓位上限20%使得云南白药持仓显著降低，是所有约束条件中影响最大的，达到了-0.2315。同时，由于个股的相关性因素，这个约束条件对其他股票的仓位也产生了不同程度的影响。

表3：持仓分解

需要强调的是，上面的数字不能代表绝对的仓位变化，例如把云南白药的20%上限去掉后，不代表云南白药的仓位会增加0.2315。数字仅反映了约束条件的敏感程度，数字越大，表示在约束条件变化一个单位时，对仓位的影响越大。刻画二：约束条件对预期收益率的影响接下来我们从投资组合的预期收益率的角度来这些约束条件的作用。我们定义组合的预期收益率等于组合中个股的仓位和对应的alpha号值加权求和，经过计算得到无约束组合和带约束组合的预期收益率分别是0.0314和0.0143。表4描述了组合的预期收益率受到约束条件的影响。在这部分，为了更好地说明约束条件对于预期收益率的影响，我们增加了“无该约束下预期收益率”列。从表中可以出，京东方A不能做空的约束条件对无约束组合的影响最大，达到了-0.0047，表明这个投资组合对这个约束条件最敏感；因此在“无该约束下预期收益率”列中，我们将对应的约束条件去掉，得到了重新优化组合后取得的预期收益率。我们发现，把京东方A不能做空的约束去掉后，取得的预期收益率0.0203是最大的。

表4：预期收益率分解

刻画三：约束条件对Alpha号的影响最后我们从alpha号本身的角度来约束条件的影响。上说到，Transfer Coefficient系数用来整体地刻画alpha号的表达程度，但是无法说明每个约束如何影响alpha号的表达。在本环节，我们将会对这个问题展开讨论。首先我们通过带约束组合反向求解出隐含的alpha号，表示无任何约束条件下，利用这个隐含的alpha号，可以求解出带约束组合。我们在表5中表达了每个约束条件是如何影响始的alpha号的。其中，股票满仓约束条件对每个股票的alpha值影响是一样的，因为这是一个整体的约束；其次是对每个个股的仓位上下限的约束，在个股不能做空的约束部分，可以到一个对角线矩阵，其余位置的值均为0，说明个股约束仅会影响对应股票的alpha值的表达，不会影响其他股票。最后我们来云南白药和泸州老窖的关系，在始无约束条件下，云南白药的alpha值比泸州老窖大，但是在最后的隐含alpha中，泸州老窖的alpha却超越了云南白药，主要因是云南白药受到了上限的约束，减少了0.0071，而泸州老窖则没有上限约束。只有通过alpha分解才能分析出这种关系调转的现象。

表5：alpha号分解

从以上的刻画中可以出，从无约束条件到全约束条件的变化过程中，各个最优化目标的结果发生了很大变化。因此，在实际的量化组合构建过程中，约束条件起到的作用不亚于优化目标本身。通过以上三个角度的分析，我们细致地刻画了约束条件在进行投资组合优化的过程中起到的实际作用。这个模型不仅可以帮助投资者清楚约束条件如何影响投资目标，同时可以通过拆分影响过程反过来指导投资者更好地选择约束条件并优化它们，从而达到构建最优组合的目标。萝卜投资在量化投资领域拥有多年数据及技术积累，能够协助投资者进行更为智能且高效的投资，达到优化业绩的最终目标。